Пятая беседа состоялась через одну или две недели. Холмс был возбужден в самой высшей степени, что так не соответствовало его облику сдержанного джентльмена.

– Ватсон, у меня, кажется, появилась ужасная мысль. Почему 2-2-2 – да, а 4-4-4 – нет (да – точка, нет – тире)? Вчера, просматривая за завтраком утреннюю газету – о чем там говорилось, скажу после, – я подумал, а что... а что если эти двойки и четверки записать в виде:

x ²+y ²=z ²,   x +  y = z .  

 

Вы понимаете, Ватсон, что означают эти записи?

– Конечно. Все-таки в колледже курс математики я проходил, x , y , z некоторые числа. Они возводятся в квадрат или в четвертую степень, и получается равенство.

– Все верно, Ватсон. Только числа x, y, z должны быть целыми, натуральными – 1, 2, 5, 100000, но не 1.1 и не 0.95. И еще маленькое "но". Если получается равенство. Кстати, что вы слышали о Пьере Ферма?

– Пьер Ферма? Боюсь, что это имя мне не знакомо, если вы, тем более, имеете виду кого-нибудь из моих клиентов..

– Что вы, Ватсон. Речь идет о французском математике семнадцатого века.

– К сожалению, в этом случае вообще ничего.

– Тогда садитесь в кресло и послушайте одну на самых детективных историй математики. В семнадцатом веке жил во Франции юрист Пьер Ферма. Однако истинной страстью его была математика, и особенно теория чисел – раздел, занимающийся свойствами натуральных чисел. 2, 5, 10000 натуральные числа, 4.5, 0.95 – это уже не натуральные числа. Теория чисел изучает именно натуральные числа и их свойства, например делимость и.т.д.

Пьеру Ферма принадлежит множество первоклассных результатов. Им доказана, например, очень важная Малая теорема Ферма. Hо наибольшую известность у широкой публики и особенно гимназистов и студентов-первокурсников получила теорема, которую математики, люди достаточно трезвые, назвали торжественно и даже напыщенно Великой теоремой Ферма.

Известно, что можно сложить два квадрата и получить квадрат третьего числа. Это знали еще древние египтяне. Hапример, числа 3, 4, 5 так и называют египетские, так как

3²+4²=5², т.е. 9 + 16 = 25.

Говоря математическим языком, равенство

x ²+y ²=z ²

разрешимо в целых числах. А если теперь взять не вторую степень числа, а третью, четвертую, сотую, любую n -ую (n и означает любое целое число)? Можно ли найти два таких числа, чтобы их возвести в третью степень, затем сложить и в результате получить число, являющееся в свою очередь кубом некоторого третьего числа. А если таких чисел не существует для n =3, то при каких n такие числа существуют? Так возникла проблема определить, при каких n равенство

x ⁿ  +  y ⁿ  =  z ⁿ

допускает решение в целых числах.

Тогда Пьер Ферма и заявил, что ни при каких n , кроме 1 и 2, это равенство вообще невозможно в целых числах. Более того, он утверждал, что это отнюдь не его догадка, что само по себе уже требует огромной интуиции, но теорема, доказанная им со всей математической строгостью. Попытки многих математиков повторить доказательство или найти новое, были тщетны. После смерти Ферма в его бумагах нашли только заметку на полях математической книги, в которой была приведена формулировка этой теоремы "о неразрешимости", а затем написано: "Доказательство слишком длинно, чтобы можно было привести его здесь". И больше ничего, ни строчки на эту тему. Так до сих пор и не известно, действительно ли доказал Ферма теорему, получившую название Великой теоремы Ферма, или нет. Дискуссии идут до сих пор. Тут очень интересный психологический момент. Момент психологии творчества. Вы знаете, что хоть я и не профессионал-математик, но любителем этой науки был всегда, ибо мой дедуктивный метод требует сугубо математического стиля мышления. Но я сыщик. И по проблемам психологии принятия решений, выдвижения гипотез, нахождения доказательств по всем этим проблемам, без ложной скромности, могу считать себя крупнейшим специалистом-профессионалом. И вот я думаю, что Ферма теорему доказал , а не просто угадал или предположил. Дело в том, что она совершенно необычна для XVII века. В то время математики решали задачи, а не доказывали, что их невозможно решить. Они искали корни алгебраических уравнений любой степени, пытались разделить угол на три части циркулем и линейкой, построить квадрат, равновеликий кругу, пробовали строго доказать пятый постулат Эвклида. Только в девятнадцатом веке было установлено, что это задачи неразрешимые . Hо в то время никому такого рода мысли даже не приходили в голову. Они были полны математического оптимизма, это был период бурного развития математики, решалась одна задача за другой. Hа фоне столь выдающихся успехов выдвинуть гипотезу о том, что никто и никогда не найдет трех таких чисел, чтобы выполнялось уравнение Ферма при n больше двух, было психологически невозможно. Такую мысль можно было в то время высказать, только имея твердое доказательство. Следовательно, оно у Ферма было. В этом я уверен. Какое оно, насколько надежное, достаточно ли убедительно с точки зрения современной математической придирчивости, не знаю и не могу знать. Это уже не моя сфера. Hо самое удивительное, что до сих пор не найдено не только доказательство великой теоремы, не найдено даже такое, пусть неверное, доказательство, которое мог бы принять за истину сам Ферма. Очевидно, что это доказательство было не так уж сложно, если оно даже не нашло отражения в его архиве. Если бы он занимался этой проблемой долгое время, то наверняка в бумагах сохранились бы следы этой работы. По-видимому. Ферма нашел решение более или менее случайно, а повторить его не могут уже триста лет. Прямо привидение в мире математики.

Впрочем, Ватсон, я, кажется, увлекся. Вы знаете, что тема привидений, психологических привидений, т.е. вещей, которые с одинаковой убедительностью и существуют и не могут существовать фактически, это моя профессия как детектива. Вы, конечно, помните и привидение собаки Баскервилей и множество других приведений, которые мне удалось раскрыть на основе своего дедуктивного метода вот почему к этой теме я неравнодушен, хотя в деле с привидением Ферма я могу оставаться только наблюдателем и болельщиком тут не моя сфера.

Итак, продолжим. С XVII века теорема бросает вызов математическому разуму. Было проверено, что до n меньше чем 2047 уравнение Ферма действительно в целых числах неразрешимо. Hо ведь это не ответ на поставленную задачу. А может при n , равном ста миллионам, как раз и существует решение. Hовый стимул к штурму Великой теоремы Ферма возник несколько лет назад, когда один немецкий промышленник завещал миллион марок тому, кто ее докажет. За работу принялись домохозяйки и школьники, юристы (благо сам Ферма был юристом) и портные, учителя математики и матросы каботажного плавания. Геттингенский университет, которому по завещанию было поручено распоряжаться этой премией, был буквально завален "доказательствами". Увы, как и следовало ожидать, все они оказались порочными. Газета, о которой я обещал вам рассказать, как раз сообщала, что некий японский школьник доказал Великую теорему Ферма и математики Токийского университета якобы не могли найти в этом доказательстве пороков. По всей видимости, это обычная газетная утка. Hо когда я читал эту заметку, меня прямо пронзила мысль. А не использовал ли Мариарти Великую теорему Ферма для шифровки? Ведь если последовательность 2-2-2 записать в виде: x²+y²=z² ,то это означает, что данное уравнение разрешимо в целых числах, т.е.принадлежит к классу разрешимых уравнений Ферма. Соответственно мы можем и саму последовательность отнести в особый класс. В то же время, если взять последовательность 4-4-4 и записать ее в виде:

x + y = z ,

то это уравнение не разрешимо в целых числах, что строго доказано еще великим Эйлером. Поэтому, и саму последовательность мы должны отнести к другому классу. Таким образом, в данном конкретном случае мы имеем последовательности различных классов, и, с другой стороны, известно, что первая последовательность есть знак точки, вторая – тире, если первый блок действительно означает букву "в".

– Право, Холмс, все это ужасно интересно и смело. Hо есть какая-либо уверенность, что это верно?

– К сожалению, мою догадку трудно подтвердить. Ведь только два первых столбца годятся для уравнения Ферма. В остальных случаях либо число членов уравнения больше трех, либо показатели степеней не одинаковы. И все же, Ватсон, я чувствую интуитивно, что нахожусь совсем вблизи от ключа к шифру. Более того, до меня ранее доходили слухи, что Мариарти был математиком, так что проблематика Великой теоремы Ферма ему наверняка была известна.

– Что ж, еще раз скажу, ужасно хочется, чтобы вы оказались правы. Но позвольте мне, дорогой Холмс, допустить маленькое ехидство. Не кажется ли вам, что здесь вы меняете свой патентованный дедуктивный метод на конкурирующий индуктивный – от частности к общему?

– Ах, Ватсон, метод важен, но результат важнее. Hа этом и закончилась пятая беседа.